Matemáticas II. Bloque 1, 2, 3

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a² + b²= c²

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

1. Para el siguiente triángulo rectángulo, calcula el lado desconocido c.

Teorema de Tales de Mileto

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Lo que se traduce en la fórmula:

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.


Figura 1. Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.	Figura 2. Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

EJEMPLOS

Teorema de triángulos semejantes.

Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos.

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual
.

Teoremas de triángulos congruentes

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño.

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:

$\triangle {\mathrm {ABC}}\cong \triangle {\mathrm {DEF}}$

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos.

Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes.

Estas son:

1.- Congruencia de sus lados

2.- Congruencia de sus ángulos

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales.

Criterio ALA significa Ángulo-Lado-Ángulo. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.

Criterio LLA significa Lado-Lado-Ángulo. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

Criterio LLL significa Lado-Lado-Lado. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

Criterio LAL significa Lado-Ángulo-Lado. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.

Teoremas y clasificación de triángulos.

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos. Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño.
Como triángulo isósceles, si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.
Como triángulo escaleno, si todos sus lados tienen longitudes diferentes.

Equilátero. Isósceles Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos se clasifican en:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.


Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }_{{}}$
	Oblicuángulos

TEOREMAS DE TRIÁNGULOS

En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos es igual a 180°.
En todo triángulo la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los ángulos internos no continuos.
Para todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos externos es igual a 360°.
En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

Teoremas de rectas paralelas

TEOREMA 5.1

Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.2

Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.3
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.4

Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.5

Dadas las rectas p, q y r, si p es paralela a q y q es paralela a r, entonces p es paralela a r.

TEOREMA 5.6

Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

TEOREMA 5.7

Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos exteriores son congruentes.

TEOREMA 5.8
Si dos rectas se cortan por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

TEOREMA 5.9
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

Teoremas y clasificación de los tipos de ángulos

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Los ángulos se de acuerdo con su amplitud se clasifican en:

Nulo.
Agudo.
Recto.
Obtuso.
Llano.
Oblicuo.
Completo.

Ángulo Nulo.

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0° ángulo nulo

Ángulo Agudo.

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0° y menor de 90°

Ángulo Recto.

Un ángulo recto es aquel que mide 90°, Sus dos lados son dos semirrectas perpendiculares, y el vértice es el origen de dichas semirrectas.

Ángulo Obtuso.

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a 90° y menor a 180°.

Ángulo Llano

El ángulo llano tiene una amplitud equivalente a 180°.

Ángulo Oblicuo.

Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Ángulo Completo.

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de 360°, propiamente es un círculo.

TEOREMAS SOBRE ÁNGULOS

Dos ángulos adyacentes son suplementarios.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°.
La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.
Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.
Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.
Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.
Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.
Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.
Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario, son iguales.
Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.
Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son iguales.
Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios.
Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales.

martes, 11 de febrero de 2014